Vấn đề về sự không khả vi
Bài toán tối ưu hóa có ràng buộc chuẩn được định nghĩa là:
$$\text{tối thiểu hóa } f_0(x) \\ \text{với điều kiện } f_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ Ax = b$$
Chúng ta có thể lý thuyết viết lại bài toán này bằng hàm chỉ báo $I_-(u)$ để hấp thụ các ràng buộc vào hàm mục tiêu. Tuy nhiên, $I_-(u)$ là một con quái vật trong giải tích:
$$I_-(u) = \begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \infty & u > 0 \end{cases}$$
Vì nó gián đoạn và có đạo hàm vô hạn tại biên, nên chúng ta không thể tính được ma trận Hessian cần thiết cho Phương pháp Newton. Chúng ta cần một hàm thay thế khả vi.
Sự làm trơn bằng logarit
Chúng ta xấp xỉ $I_-(u)$ bằng hàm:
$$\hat{I}_-(u) = -(1/t) \log(-u), \quad \text{miền xác định } \hat{I}_- = -\mathbf{R}_{++}$$
Ở đây, $t > 0$ là tham số quyết định độ chính xác của xấp xỉ của chúng ta. Giá trị $t$ càng lớn, rào cản càng giống với hàm chỉ báo thực sự.
Khác với các phương pháp tập hoạt động, tiếp cận này yêu cầu mỗi điểm lặp $x$ luôn giữ khả thi nghiêm ngặt ($f_i(x) < 0$). Vì logarit không xác định với các giá trị không âm, nó tạo thành một "rào cản bất khả xâm phạm" giữ quá trình tìm kiếm bên trong phần trong của tập khả thi.